Premio Abel de matemáticas 2024: la improbabilidad de que una moneda lanzada 1 000 veces salga cara en 600

¿Cómo se pueden ganar 7,5 millones de coronas noruegas (unos 660 000€) con las matemáticas?

Si está pensando en algo como “descubriendo el fallo de una ruleta” o “contando cartas”, siento defraudarle: la probabilidad en estos casos suele estar en nuestra contra, por mucho que el cine se empeñen en afirmar lo contrario.

Quizás al ver lo de “coronas noruegas” ha pensado en el premio Nobel, pero este se da en “coronas suecas” y además, según parece, Alfred Nobel le tenía poco cariño a las matemáticas puras y no dejó dotación para premiarlas. Hablamos, por tanto, de otro premio, el Abel, otorgado por la Academia Noruega de Ciencias y Letras en honor al matemático Niels Henrik Abel.

Este año 2024, el premio Abel ha sido otorgado al francés Michel Talagrand “por sus contribuciones pioneras a la teoría de la probabilidad y el análisis funcional, con aplicaciones sobresalientes en la física matemática y la estadística”.

Michel Talagrand. Premio Abel de matemáticas 2024.
Premio Abel, CC BY

La descripción de estos logros, señalada en la concesión al mismo Talagrand del premio Shaw en 2019, fue más precisa: “por sus trabajos sobre desigualdades de concentración y supremos de procesos estocásticos y por sus rigurosos resultados para vidrios de espín”.

La probabilidad de la moneda en los trabajos de Talagrand

Estos logros han sido destacados en prensa con un titular que aquí reproducimos: “La improbabilidad de que una moneda lanzada 1 000 veces salga cara en 600”. Pero ¿cómo se deduce esto de los trabajos por los que se ha premiado a Talagrand?

De los tres logros que se destacaban en el premio Shawn y que son parte también del premio Abel, dos de ellos hacen referencia explícitamente a la Probabilidad y a la Estadística, y el tercero está muy relacionado. En particular, todos tienen que ver con el estudio de los llamados procesos estocásticos, un concepto probabilístico que nos rodea sin que reparemos en él.

Por ejemplo, imagine que estamos en un supermercado, en la cola de la caja. Cada 5 minutos vamos a contar el número de personas en ella. Ese valor varía a cada instante, de ahí que al “número de personas en la cola” lo llamemos “variable”. Además, le ponemos el adjetivo “aleatoria” porque tiene detrás un comportamiento marcado por el azar en el que unos valores se repetirán más que otros.

Pero lo que nos interesa de esta cola no es tanto el número de personas sino el comprender cómo evoluciona su valor. De ahí que hablemos de “proceso”. Y es muy revelado entender de dónde viene el adjetivo que acompaña a ese término: estocástico.

Capaz de adivinar

La palabra “estocástico” tiene su origen en el griego “στοχαστικός” (stokhastikós), que significa “capaz de adivinar”. Una acción, la de predecir o adivinar, para la que la ciencia cuenta con la Estadística y la Probabilidad.

Volviendo al supermercado, supongamos que nuestro interés es conocer cuantas personas habrá en la cola en un momento concreto y así decidir con cierta antelación cuántas cajas deben estar abiertas.

Otro ejemplo que suele utilizarse mucho para hablar de procesos estocásticos es el clima. Entender cómo evoluciona un temporal es fundamental para tomar las medidas oportunas para evitar desastres.

Algunos de estos procesos son sencillos de estudiar, y están sustentados por reglas básicas como las de los procesos llamados Markovianos (en honor al matemático Ruso Andrèi Markov), un tipo de proceso por el cual el estado del sistema solo depende de lo que estaba sucediendo en el instante anterior. Dicho con otras palabras, el número actual de personas en la cola solo depende del número que había hace 5 minutos y no de las que había hace 10 ó 15.

El momento de la incertidumbre

Otros procesos, sin embargo, son mucho más complejos y dependen de lo que llamamos sistemas dinámicos. En ellos se ven involucradas ecuaciones matemáticas que explican cómo va cambiando el sistema (como los que usamos para modelizar epidemias) en relación a muchas otras variables que pueden tener influencia.

Y ojo, porque esas variables pueden ser muy variables. Es decir, que las condiciones bajo las que se desarrolla un temporal, las que hacen crecer un fruto o las que rodean al lanzamiento de una moneda pueden ser extremadamente cambiantes y difíciles de controlar, añadiendo incertidumbre al sistema.

Tenemos, ahora sí, todos los ingredientes para entender un poco mejor cuales son las contribuciones por las que Talagrand ha conseguido el premio Abel.

Vidrios de espín

Empecemos por el último y más complejo: “sus rigurosos resultados para vidrios de espín” y sus contribuciones a la física, según el premio Abel.

Los vidrios de espín o spin glasses son un concepto que aparece dentro de las teorías del físico italiano Giorgio Parisi, premio Nobel de Física en 2021 por el “descubrimiento de la interacción del desorden y las fluctuaciones en los sistemas físicos desde escalas atómicas hasta planetarias”.

Se trata de un tipo de sistema físico desordenado en el que Parisi trataba de entender la compleja interacción entre los átomos que lo conforman. La intuición de Parisi carecía de formalización matemática (y eso a las personas que nos dedicamos a esto nos pone nerviosas). Pero llegó Talagrand con sus conocimientos sobre procesos estocásticos que podían aplicarse también a este tipo de sistema y logró formalizar las intuiciones de Parisi.

El máximo y el mínimo de un proceso estocástico

Con respecto a los “supremos de procesos estocásticos”, una de las grandes cosas que ha aportado Talagrand ha sido la posibilidad de acotar cuánto puede llegar a valer – valor máximo y mínimo– un proceso estocástico. En nuestros ejemplos, nos puede decir cuál será el máximo de personas en la cola o de litros por metro cuadrado que nos va a dejar un temporal. ¡No me digan que no es práctico!

Y llegamos, por fin, a la primera contribución de Talagrand: las “desigualdades de concentración”, que tienen que ver directamente con la moneda del titular.

El momento de echar la moneda al aire

Las desigualdades de concentración (concentration inequalities) ayudan a entender cómo de improbable es que, si tenemos datos variados, nos separemos mucho de lo esperado. Con esto de “tenemos datos variados” a lo que me refiero es a que nuestras observaciones contemplen toda la variabilidad que existe alrededor de un proceso.

En el caso de la moneda, cada vez que la tiramos lo hacemos con una fuerza y, posiblemente, un estilo distinto. Eso hace que si esperamos observar 500 caras en 1 000 lanzamientos (por eso de que la moneda tiene una probabilidad de cara de un 50 %), es difícil que observemos exactamente 500. Pero ¿cómo de difícil?

Lo que hacen exactamente estas desigualdades es cuantificar lo difícil que es alejarnos de ese 500 y, en concreto, con 1 000 lanzamientos.

La desigualdad de Talagrand establece que la probabilidad de sacar más de 600 será de un 1 % dividido por dos millones. Esto es así porque toda la variabilidad entre las diferentes fuerzas o formas de tirar la moneda se anula, y el numero de caras se concentrará entre 450 y 550, con una probabilidad del 99,7 %.

En definitiva, la probabilidad puede hacer ganar dinero, aunque la razón se separe mucho de lo esperado.

The Conversation

Anabel Forte Deltell recibe fondos de Ministerio de Ciencia Innovación y universidades mediante los proyectos PID2022-138201NB-I00 y PID2022-137629OA-I00.

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